이상화 교수님의 확률 및 통계 5강 ‘이산 확률 변수와 연속 확률 변수’ 강의를 듣고 간단하게 내용을 정리해보도록 하겠습니다.
1 왜 연속 확률 변수는 특정 실수값의 확률을 정의할 수 없을까?
0과 1사이의 ‘모든’ 실수값들 중에서 ‘0.5’라는 숫자를 뽑을 확률을 정의해봅시다. 0과 1사이에는 무수히 많은 숫자들이 있을 것이고. 그 중에서 0.5라는 숫자를 뽑을 확률을 실질적으로는 ‘0’이라고 생각할 수 있습니다.
\[\cfrac{1}{\infty} = 0\]2 그렇다면 연속 확률 변수는 ‘확률’을 어떻게 정의해야 할까?
‘특정한’ 값이 아니라 ‘아주 작은 구간’에서 정의할 수 있다. \(F(x)\)에 아주 작은 값을 더한 값을 구한 후(\(F(x+\Delta x)\)) , 이를 단위 구간으로 나누어 봅시다.
\[\begin{aligned} \lim_{\Delta \to 0}\cfrac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta x} &= \lim_{\Delta \to 0} \cfrac{F(x+\Delta x )-F(x)}{\Delta x}\\\\ &=F'(x) \end{aligned}\]이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.
- 연속 확률 변수에서 특정한 값의 ‘확률’을 정의할 수는 없지만 ‘밀도(density)’는 정의할 수 있습니다(밀도는 단위 길이당 특정 확률값을 표현한 것).
- 밀도는 누적 분포 함수를 ‘미분’ 하면 구할 수 있습니다. 즉 아래와 같은 식이 성립합니다.
- \(f(x)\)는 확률 밀도 함수(probability density function, PDF)라고 합니다.
확률 밀도 함수(PDF)가 되기 위해서는 다음의 두 조건을 반드시 만족해야 합니다.
- \(0\leq f(x)\), (그러나 \(f(x) \leq1\)일 필요는 없다. 확률이 아니라 밀도이기 때문).
- \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) =1\).
3 마지막으로 헷갈릴만한 개념들을 정리 해봅시다.
- PMF의 경우, 특정 확률 변수에 상응하는 값이 ‘확률’입니다.
- 그러나 PDF의 경우, 특정 확률 변수에 상응하는 값이 ‘확률’이 아니라 ‘밀도’입니다.
- 누적 분포 함수(CDF)는 특정 확률 변수에 해당하는 값이 ‘확률’입니다. 이는 PMF의 CDF나 PDF의 CDF 모두에 공통적으로 해당됩니다.