미분 공식을 이해하고 내면화하기 위해 대표적인 미분 공식 증명을 정리해 보겠습니다.
1 \(f(x)=x^{n}\)일때, \(f'(x)=nx^{n-1}\)
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \cfrac {f(x+h) - f(x)} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cfrac {(x+h)^n - x^n} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cfrac {(x+h-x)((x+h)^{n-1}x^{0} + (x+h)^{n-2}x^{1} + ... + (x+h)^{0}x^{n-1})} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} {((x+h)^{n-1}x^{0} + (x+h)^{n-2}x^{1} + ... + (x+h)^{0}x^{n-1})} \\ &= x^{n-1}x^{0} + x^{n-2}x^{1} + ...+ x^{0}x^{n-1} \\ &= x^{n-1} + x^{n-1} + ... +x^{n-1} \\ &= nx^{n-1} \end{aligned}\]참고) \(a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}b^{0} + a^{n-2}b^{1} + ... + a^{0}b^{n-1})\)
2 자연상수 \(e\)의 정의
\(e=\lim_{n \to\infty}\bigg(1+\cfrac{1}{n}\bigg)^n=\lim_{x\to0}\big(1+x\big)^{1/n}\)
참고) 마지막항은 \(x = \cfrac{1}{n}\)을 이용한 것
3 \(\lim_{x\to0}\cfrac{e^x-1}{x}=1\)
\[\begin{aligned} \lim_{x\to0}\cfrac{e^x-1}{x} &= \lim_{t\to0}\cfrac{t}{ln(1+t)} \Leftarrow e^x-1=t \\ &= \lim_{t\to0}\cfrac{1}{\cfrac{ln(1+t)}{t}} \\ &= \lim_{t\to0}\cfrac{1}{\frac{1}{t} ln(1+t)} \\ &= \lim_{t\to0}\cfrac{1}{ln(1+t)^{\frac{1}{t}}} \\ &= \cfrac{1}{ln(\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{1}{t}})} \\ &= \cfrac{1}{lne} \Leftarrow \lim_{x\to0}\big(1+x\big)^{1/n} \\ &= 1 \end{aligned}\]4 지수함수 \(f(x) =e^x\)일 때, \(f'(x)=e^x\)
\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \cfrac {f(x+h) - f(x)} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cfrac {e^{x+h} - e^{x}} {h} \\ &= \lim_{h \to 0} \cfrac {e^{x}(e^{h}-1)} {h} \\ &= e^{x} \lim_{h \to 0} \cfrac {e^{h}-1} {h} \\ &= e^{x} \Leftarrow \lim_{x\to0} \cfrac{e^x-1}{x}=1 \\ \end{aligned}\]4 지수함수 \(f(x) =a^x\)일 때, \(f'(x)=e^{xlna}\cdot lna\)
다음 수식을 먼저 정의 하겠습니다.
\[\begin{aligned} a^x &= a^{log_{e}e^{x}} \\ &= (e^{x})^{log_{e}a} \Leftarrow a^{log_{c}b} = b^{log_{c}a} \\ &= e^{xlog_{e}a} \\ &= e^{xlna} \\ \end{aligned}\]위의 수식을 이용하여 증명을 해보겠습니다.
\[\begin{aligned} f'(x) &= \cfrac {da^x} {dx} \\ &= \cfrac {d} {dx} e^{xlna} \\ &= \cfrac {d} {dx} e^t \Leftarrow t=xlna \\ &= \cfrac {de^t} {dt} \cfrac {dt} {dx} \\ &= e^t \cfrac {dt} {dx} \\ &= e^t \cdot lna \\ &= e^{xlna} \cdot lna \\ \end{aligned}\]